初めに
- 筆者が数学を学んだ方法は、最初からつまずくと数学が嫌いになるので、「分からないことは、分からない」として、先々の学びで必要になった時、前に戻って「分からないこと」を読み返して学ぶ方法でした。
- 「分からないことは、分からない」として、先に進むと必ず躓きます。だからといって、今躓いていては、先に進めません。
- どの時点の躓きであっても、先生も自分もその原因は分かりませんので、筆者は、先に進むことを優先させました。
- 自分以外の他の人が何が分かって、何が分からないかを知ることは、非常に困難です。
- 対して、自分が何が分かって、何が分からないかを知ることは、何とかなるかもしれません。その方法。
- 尚、本サイトは中学で学んだことの復習も含みます。
式とは
式は言葉
- 式は、数学あるいは算数の言葉です。
- 式は、言葉ですから、意味があります。
- 例えば、a+b という式があったとします。
そして、a はリンゴの個数、b は桃の個数とします。
すると、a+b は「リンゴの個数と桃の個数の合計」になります。
記号表記
- 数学では、式に文字（例えば、abc,xy など）や記号表記（＋ー×÷など）を使います
- 皆さん、記号表記を普段、よく使っているかもしれません。
例えば、「メールアドレスの ＠ はどういう意味ですか？」と、聞かれたら、
「＠は@でしょ？」と、答えると思います。
そうです。難しく考える必要はありません。
慣れることが大事です。 - 尚、このサイトでは、掛け算のxと区別するため、文字 x を太文字（x）とします。
その他の表記
定数（係数）と変数
- 式は、定数（係数）と変数から作られます。そして、定数（係数）と変数も数です。
- 永遠に変わらない数を定数（係数）、変わっていく数を変数と呼びます。
式「3x」の3は、定数（係数）です。xは、変数です。
a+b の a も b も変数です。リンゴや桃の個数は、食べれば減りますし、買って来れば増えますね。
式の中の変数
- 例えば、「x に着目しましょう。」と、先生が言ったら、変数は x です。
- 式「2ax」の 2a は、定数です。xは、変数です。
- 文字であっても、変数とは限りません。
- 尚、「x に着目しましょう。」と、先生が言ったら、その式の変数は１文字（x）だけです。
次数
- 数[x]を２回掛けたものを、x2 と表記します。
- 数[x]を３回掛けたものを、x3 と表記します。
- 数[x]をｎ回掛けたものを、xn と表記します。
- この、２、３、ｎを次数または指数と呼びます。
式の計算
計算の順序
- （）の中を最優先で計算します。
- 次に、加減乗除（＋ーｘ÷）の乗除（ｘ÷）を計算しますが、ややこしくなるので除（÷）は考えないようにしましょう。
- 最後に、加減（＋ー）を計算します。
暗黙の省略
- 暗黙の省略として、ab は、a x bの x を省略したものとして考えます。
- a(b+c) は、a x (b+c)の x を省略したものとして考えます。
- a は、1×a の 1× を省略したものとして考えます。
- a は、a1 の 1 を省略したものとして考えます。
整式
- 「整式」は、「単項式と多項式を合わせたもの」です。これ以下でも、これ以上でもありません。つまり、「整式」＝「単項式＋多項式」です。
単項式と多項式
- 式に加減（＋ー）を含むものが、多項式で、含まないものが単項式です。
単項式を加減（＋ー）で繋げたものが多項式です。 - 次数の違う単項式は加減（＋ー）できません。
例えば、3x+5x2は、加減（＋ー）できないので、3x と 5x2 は、それぞれ別の単項式です。
よって、3x+5x2 は多項式になります。
例
以下の式ではxだけに着目します。
- 5bxy2は、単項式です。x以外の5by2は、定数（係数）です。
- (3+2a)xは、単項式です。()内が全て定数であれば、１つの定数と同じです。
(3+2a)xは、b = (3+2a) として、bxと同じと考えます。b は１つの定数にまとめたものです。
同類項
- 同じ変数で、同じ次数の単項式を同類項と呼びます。
- 違う変数を掛けたものは、違う変数を掛けたもの同士で、同じ次数の単項式を同類項と呼びます。式に変数が２個現れた例です。
例
以下の例は、x に着目します。
- 3x+ax+5x2+bx2 の 3x とax は同類項です。5x2 とbx2 も同類項です。
以下の例は、x と y に着目します。(違う変数を掛けたものの場合）
- 3x+ax+5x2+bx2+2xy+cxy の 3x とax は同類項です。5x2 とbx2 も同類項です。
そして、2xy と cxyも同類項です。
式の加減乗（＋－x）
同類項の加減（＋－）
- 多項式の加減は、同類項同士でしかできません。
例
3x+ax+5x2+bx2 を加減（＋－）します。
- (3+a)x+(5+b)x2 となります。同類項を集めて、定数（係数）を（）の中に集めました。
3x+ax+5x2+bx2+2xy+cxy を加減（＋－）します。
- (3+a)x+(5+b)x2+(2+c)xy となります。
２つの多項式 3x+5x2 と ax+bx2 を加（＋）します。
- (3x+5x2)+(ax+bx2) = 3x+ax+5x2+bx2
- 後は、上と同じですね。
別の多項式の加減方法
指数の法則
- このサイトで、初めて法則が出てきました。
- これは、テスト対策には、暗記あるのみですし、先々の学びのためには慣れることが大事です。
- 慣れるためには、例題や練習問題などをたくさん、こなしましょう。
- 因みに、筆者は暗記もしないで、必要な時には「ググって」います。
この法則を勘違いでも、間違っていたら、問題解決が途中でおかしくなるからです。
高校を卒業してから数学の法則は、「暗記より確認」が大事になります。 - 尚、これから出てくる「公式」も「法則」と同じと思ってOKです。
３つの法則
- xmxn = x(m+n)
- (xm)n = xmn
- (xy)n = xnyn
単項式の乗算
- x3x5 = x(3+5) = x8
- (3x3)x(2x5) = (3×2)(x3x5) = 6x(3+5) = 6x8
- (ax3)x(bx5) = (axb)(x3x5) = (axb)x(3+5) = abx8
分配法則
- 分配法則は、多項式の乗算などに使われます。
- 分配法則の単純型：a(x+y) = ax+ay 「 a を（x+y）の項にそれぞれ乗じます。」
- 分配法則の発展型：(a+b)(x+y) = (ax+ay)+(bx+by) 「(a+b)のそれぞれの項を（x+y）の項に乗じます。」
展開と因数分解
- 展開と因数分解は逆の操作になります。
- 展開は、単項式を加減（＋ー）で繋ぎます。
- 因数分解は、単項式や多項式を（）で掛け算の形にします。
- 尚、展開が必ずしも因数分解の形にできるとは限りません。
展開と因数分解の公式
下の公式の左側（左辺と呼びます。）は展開で、右側（右辺と呼びます。）は、因数分解です。
最期に
- 高校を卒業すれば、実社会で、数学を使わない方もいると思います。
そういう方には、進級できる手助けになれば幸いです。 - 数学の単位が必要な大学に進学する方にも、同様に手助けになれば幸いです。
- 将来、コンピュータ・プログラミングが必要な職を目指している方には、高校数学のマスターはお勧めになります。
- 職につけば、専門分野を深く知ることが重要になりますが、現時点で、専門分野が予測できない方は、高校数学を浅くとも広く学ぶことをお勧めします。
- 筆者は、微分や積分が嫌いでしたが、生涯に数度、微分を浅くとも学んだおかげで、統計やAIのプログラミングに役立てることが出来ました。